初中数学证明题解答(精选多篇)

第一篇：初中数学证明题解答

初中数学证明题解答

1.若x1,x2∈|-1，1

且x1*x2+x2*x3+……+xn*x1=0

求证：4|n

(x1,x2,x3,xn中的数字和n均下标)

2.在n平方(n≥4)的空白方格内填入+1和-1，

每两个不同行且不同列的方格内数字的和称为基本项。

求证：4|所有基本项的和

1.

y1=x1*x2,y2=x2*x3,……,yn=xn*x1

==>

y1,y2,..,yn∈{-1，1},

且y1+..+yn=0.

设y1,y2,..,yn有k个-1,则有n-k个1,所以

y1+..+yn=n-k+(-k)=n-2k=0

==>n=2k.

而y1*y2*..*yn=(-1)^k=^2=1

==>k=2u

==>n=4u.

2.

设添的数为x(i,j),1≤i,j≤n.

基本项=x(i,j)+x(u,v),i≠u,j≠v.

这时=x(i,j)和x(u,v)组成两个基本项

x(i,j)+x(u,v),x(u,v)+x(i,j),

和x(i,j)不同行且不同列的x(u,v)有(n-1)^2个,

所以每个x(i,j)出现在2(n-1)^2个基本项中.

因此所有基本项的和=2(n-1)^2.

设x(i,j)有k个-1,则

所有基本项的和=2(n-1)^2=

=2(n-1)^2

显然4|2(n-1)^2,

所以4|所有基本项的和.

命题：多项式f(x)满足以下两个条件：

(1)多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得余式为x^3+2x^2+3x+4

(2)多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得余式为x^3+x+2

证明：f(x)除以x^2+x+1所得的余式为x+3

x^4+x^2+1=(x^2+x+1)·(x^2-x+1)

x^3+2x^2+3x+4=(x^2+x+1)·(x+1)+x+3

x^3+x+2=(x^2+x+1)·(x-1)+x+3

====>f(x)除以x^2+x+1所得的余式为x+3

各数平方的和能被7整除.”“证明”也称“论证”，是根据已知真实白勺判断来确某一判断的直实性的思维形式.只有正确的证明，才能使一个真判断的真实性、必然性得到确定.这是过去同学们较少涉足的新内容、新形式.本刊的“有奖问题征解”中就有不少是证明题(证明题有代数证明题和几何证明题等)，从来稿看，很多同学不会证明.譬如上题就是代数证明题，不少同学会取出一组或几组连续的自然数，如o+1+2+3+4+5+6z一91—7×13，1+2+3+4+5+6+7z一140—7×2o后，便依此类推，说明原题是正确的，以为完成了证明.其实，这叫做“验证”，不叫做证明.你只能说明所取的数组符合要求，而不能说明其他的数组就一定符合要求，“验证”不具备一般性、必然性.这道题的正确做法是：证明设有一组数n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6(n为自然数)，‘.‘+(n+1)+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2一n2+(n2+2n，4-1)+(n2+4n+4)+(n2+6n+9)+(n2+8n+16)+(n2+10n+25)+(n+12n+36)一7nz+42n+91—7(nz+6n+13)，.‘.n+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)+(n+6)能被7整除.即对任意连续7个自然数，它们平方之和都能被7整除.(证毕)显然，因为n可取任意自然数，因此n，n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6便具有一般性，所得结论也因此具有然性.上面的证明要用到整式的乘法(或和的平方公式)去展开括号，还要逆用乘法对加法的分配律进行推理.一般来说，代数证明的推理，常要借助计算来完成.证明中的假设，应根据具体情况灵活处理，如上例露勤鸯中也可设这7个数是n一3、n一2、n一1、n、n+1、n+2、n+3(n为自然数，且n≥3).这时，它们的平方和就会简便得多.证明由论题.论据和论证方式组成.常用的论证方式有直接证明和间接证明、演绎证明和归纳证明.上例中的题目便是论题，证明中“‘.”’之后是论据，“.‘.”之后是结论，采用的论证方式是直接证明.以后还要学习几何的证明，就会对证明题及其解法有更全面、更深入的了解.几何题的证明则较多采用演绎证明.证明是对概念、判断和推理的综合运用，是富有创造性的思维活动，在发现真理、确认真理、宣传真理上有重要的作用.当你学习并掌握了“证明”的方法及其精髓以后，数学向你展示的美妙与精彩，将使你受到更大的激励，享有更多成功的喜悦。

第二篇：初中数学的证明题

初中数学的证明题

在△abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延长线上，且bd=ce，线段de交bc于点f，说明：df=ef。对不起啊我不知道怎么把画的图弄上来所以可能麻烦大家了谢谢

1.

过d作dh∥ac交bc与h。∵ab=ac，∴∠b=∠acb.∵dh∥ac，∴∠dhb=∠acb，∴∠b=∠dhb，∴db=dh.∵bd=ce，∴dh=ce.∵dh∥ac，∴∠hdf=∠fec.∵∠dfb=∠cfe，∴△dfh≌△efc，∴df=ef.

2.

证明:过e作eg∥ab交bc延长线于g

则∠b=∠g

又ab=ac有∠b=∠acb

所以∠acb=∠g

因∠acb=∠gce

所以∠g=∠gce

所以eg=ec

因bd=ce

所以bd=eg

在△bdf和△gef中

∠b=∠g，bd=ge，∠bfd=∠gfe

则可视gef绕f旋转1800得△bdf

故df=ef

3.

解:

过e点作em∥ab,交bc的延长线于点m,

则∠b=∠bme,

因为ab=ac,所以∠acb=∠bme

因为∠acb=∠mce,所以∠mce=∠bme

所以ec=em,因为bd=ec,所以bd=em

在△bdf和△mef中

∠b=∠bme

bd=em

∠bfd=∠mfe

所以△bdf以点f为旋转中心,

旋转180度后与△mef重合,

所以df=ef

4.

已知：a、b、c是正数，且a>b。

求证：b/a

要求至少用3种方法证明。

(1)

a>b>0;c>0

1)(a+c)/(b+c)-a/b=/=(ab+ac-ab-bc}/(b^2+bc)

=(ac-bc)/(b^2+bc)=c(a-b)/

a>b--->a-b>0;a>0;b>0;c>0--->b(b+c)>0

-->c(a-b)/>0--->(a+c)/(b+c)>a/b

2)a>b>0;c>0--->bc

---ab+bc

--->a(b+c)

--->a(b+c)/

--->a/b<(a+c)/(b+c)

3)a>b>0--->1/a<1/b;c>0

--->c/a

--->c/a+1

--->(c+a)/a<(c+b)/b

--->(a+c)/(b+c)>a/b

(2)

makeb/a=k<1

b=ka

b+c=ka+c

(b+c)/(a+c)=(ka+c)/(a+c)=(ka+kc-c)/(a+c)=k(a+c)/(a+c)-(k-1)c/(a+c)

=k+(1-k)c/(a+c)>k=b/a。

第三篇：高二数学----不等式的证明题及解答

不等式的证明训练题及解答

一、选择题

(1)若logab为整数,且loga1122>logablogba,那么下列四个结论①>b>a②logab+logba=0bb

③0<a<b<1④ab-1=0中正确的个数是（）(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（）

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=1

+(3)若x,y∈r,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（） 11

?)xy

(4)若x>0,y>0,且x?y≤ax?y成立,则a的最小值是（）

2

(5)已知a,b∈r,则下列各式中成立的是（）

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb<lg(a+bθ·bθ=a+b

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)设a,b∈r,且ab-a-b≥1,则有（） ++b≥2(2+1) +b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1) 二、填空题

22(7)已知x+y=1,则3x+4y2(8)设x=?y,则x+y(9)若11≤a≤5,则a+5a(10)a=1+111????与n(n∈n)2n

(11)实数x=x-y,则xy

三、解答证明题

2422(12)用分析法证明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法证明:ab+cd≤

a2?c2?(14)用分析法证明下列不等式:

(1)求证:?7?1?(2)求证:x?1?(3)求证:a,b,c∈r,求证:2(

+

x?2?x?3?x?4(x≥4)

a?ba?b?c?)?3(?abc) 23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求证:(1)c>ab；（2）c-c2?ab<a<c+c2?ab(16)已知x,y∈r,且x+y>2,求证:

+

1?x1?y

与中至少有一个小于yx

(17)设a,b,c∈r,证明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥ (18)已知1≤x+y≤2,求证:

22

122

≤x+xy+y≤2

n(n?1)(n?1)2

?an?(19)设an=?2?2?3???n(n?1) (n∈n),求证:对所有n(n22

*

∈n)2

(20)已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明: (1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的证明训练题参考答案：

1．a2．b3．d4．b5．a6．a

*

7．58．-19．［2,

26

］10．a≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5

22

12．证明:要证3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需证3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即证3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a) ≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需证3(1+a-a)≥1+a+a，展开得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．证明:①当ab+cd<0时,ab+cd<a?c?b?d2222

②当ab+cd≥0时,欲证ab+cd≤a?c?b?d

2222

只需证(ab+cd)≤(a2?c2?b2?d2)

展开得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

2222222222222222

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需证ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因为(ad-bc)≥0ab+cd≥0时,ab+cd≤a2?c2?b2?d22

22222222

综合①②可知:ab+cd≤a2?c2?b2?d214．证明:(1)欲证?7?1? 只需证(?)2?(1?)2

展开得12+235>16+2,即2>4+2 只需证(2)>(4+2)，即4>这显然成立

故?7?1?(2)欲证x?1?只需证x?1?即证(x?1?

x?2?x?3?x?4(x≥4) x?4?x?3?x?2(x≥4)

x?4)2?(x?3?x?2)2(x≥4)

展开得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2 即x?1)(x?4)?(x?3)(x?2)

只需证［x?1)(x?4)］<［(x?3)(x?2)］

即证x-5x+4<x-5x+6，即4<6这显然成立 故

22

x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4)(3)欲证2(

a?ba?b?c?ab)≤3(?abc) 23

只需证a+b-2ab≤a+b+c-3

即证c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈r，?c+2ab=c+ab+ab≥3c?ab?ab?3

?c+2ab≥3abc15．证明:（1）≧ab≤(

a?b222

)<c，?ab<c2

（2）欲证c-c2?ab<a<c+c2?ab

只需证-c2?ab<a-c<c2?ab，即|a-c|<c2?ab，即a-2ac+c<c-ab

只需证a(a+b)<2ac

≧a>0,只要证a+b<2c(已知)16．证明:(反证法):假设

1?y1?x1?y1?x

与均不小于2,即≥2,≥2,?1+x≥2y,1+y≥2xyxy

两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾, 故

1?x1?y

与中至少有一个小于yx

17．证明:目标不等式左边整理成关于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判别式δ=(c(：wWW.)+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0

222

当δ=0时,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02

18．证明:设x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2

sin2θ) 2

13212222

≧sin2θ∈［-1,1］?k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222

n(n?1)2

19．证明:≧n(n?1)?n=n,?an>1+2+3+…+n=

1?22?3n?(n?1)2(1?2???n)?nn(n?1)n又an????????

222222

?x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+

n(n?2)n2?2n?1(n?1)2

???,故命题对n∈n222

20．证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等价

于证明|α|<2,|β|<2?2|α+β|<4+αβ,且|αβ???????4??4??4

???22??2222

???????4??4??16?0?4(???)?(4???)?2???4??????4

??2

??(??4)(??4)?0

??4??4

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第四篇：初中数学圆证明题

圆的证明

1．如图，ab是⊙o的弦（非直径），c、d是ab上两点，并且oc=od，求证：ac=bd

．

2．已知：如图，在△abc中，ab=ac，以ab为直径的⊙o与bc交于点d，与ac?交于点e，求证：△dec为等腰三角形．

3．如图，ab是⊙o的直径，弦ac与ab成30°角，cd与⊙o切于c，交ab?的延长线于d，求证：ac=cd．

4．如图20-12，bc为⊙o的直径，ad⊥bc，垂足为d，弧ab?af，bf和ad交于e， 求证：ae=be．

5．如图，ab是⊙o的直径，以oa为直径的⊙o1与⊙o2的弦相交于d，de⊥oc，垂足为e．（1）求证：ad=dc．（2）求证：de是⊙o1的切线．

6．如图，已知直线mn与以ab为直径的半圆相切于点c，∠a=28°．求∠acm的度数．

7．如图，在rt△abc中，∠c=90°，ac=5，bc=12，⊙o的半径为3．若点o沿ca移动，当oc等于多少时，⊙o与ab相切？

如图，pa和pb分别与⊙o相切于a，b两点，作直径ac，并延长交pb于点d．连结op，cb．

（1）求证：op∥cb；

（2）若pa＝12，db：dc＝2：1，求⊙o的半径．

如图，已知矩形abcd，以a为圆心，ad为半径的圆交ac、ab于m、e，ce?的延长线交⊙a于f，cm=2，ab=4．（1）求⊙a的半径；（2）求ce的长和△afc的面积．

如图，bc是半圆o的直径，ec是切线，c是切点，割线edb交半圆o于d，a是半圆o上一点，ad=dc，ec=3，bd=2.5

（1）求tan∠dce的值；（2）求ab的长．

第五篇：初中数学几何证明题

初中数学几何证明题

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。

一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可龋我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。

二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。

三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单)，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。

四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。

五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。